lunes, 30 de junio de 2014

EJERCICIO 20 (Calculando el incremento anual)

En 1978 el franqueo de un sobre a Europa era de UM 10. En el 2003 colocar por correo la misma carta cuesta UM 70. ¿Que incremento anual en el franqueo de una carta experimentó durante este tiempo?
Solución (n = 2003 - 1978)
C = 10; VA = 70; n = (2003 - 1978) = 25; i = ?

Aplicando la función TASA obtenemos:
Respuesta: El incremento anual es 13.71%

domingo, 29 de junio de 2014

EJERCICIO 19 (Calculando el VA de una anualidad prepagable)

El dueño de una MYPE contrae una deuda para saldarla en cinco pagos iguales de UM 26,913 al inicio de cada año, con una tasa de interés de 45.60% anual. Calcular el valor actual de esta obligación.
Solución:
C = 26,913; n = 5; i = 0.456; VA =?

Aplicando el concepto de las anualidades prepagables en la fórmula (18) y la función VA multiplicamos el resultado de la fórmula por (1 + i) y la función a operamos con tipo = 1
Respuesta: El valor actual prepagable de ésta operación es UM 72,800, considera el pago anticipado de cada cuota anual.

viernes, 27 de junio de 2014

EJERCICIO 18 (La mejor elección)

Usted gana la lotería. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotería le proponen lo siguiente: cobrar hoy UM 500,000 ó UM 3,000 mensuales durante los próximos 25 años. ¿Qué elige Ud.?
Solución:
VA = 500,000; i =?
En este caso, primero determinamos la tasa de interés, que nos permita descontar las cuotas mensuales y compararlo con los UM 500,000 que recibiríamos el día de hoy. El dinero hoy vale más que en el futuro. Asumamos una inflación del 6% anual proyectada para los próximos 25 años. (i = 0.06/12 = 0.005)
i = 0.005; C = 3,000; n = (5*12) = 300; i = 0.005; VA = ?

Aplicamos la fórmula [18] o la función VA:
Respuesta: El VA de las 300 cuotas mensuales de UM 3,000 descontadas a la tasa de inflación del 6% anual es UM 465,620.59 inferior a los UM 500,000 que cobraríamos hoy, en consecuencia, nuestra decisión será cobrar la loterías hoy.

jueves, 26 de junio de 2014

EJERCICIO 17 (Calculando el VA de una anualidad pospagable)

Tenemos una anualidad de UM 500 anual, durante cinco años vencidos. Si la tasa de descuento es igual a 13%, ¿cuál es el VA de la anualidad?
Solución:
C = 500; n = 5; i = 0.13; VA =?
Aplicando la fórmula (18) o la función VA, tenemos
Respuesta: El VA de los cinco pagos iguales es UM 1,758.62

miércoles, 25 de junio de 2014

Valor actual de una anualidad

El valor actual de una anualidad es igual a la suma de los valores actuales de los pagos de la anualidad. Esto puede calcularse a través de la siguiente ecuación: Con esta fórmula obtenemos:
Donde:
VA = Valor actual de la anualidad
C = Pago de una anualidad
i = Interés o tasa de descuento
En las fórmulas de anualidades de VA y VF, la tasa de interés no puede ser despejada, por lo cual debe obtenerse por ensayo y error. Por esta razón en el presente libro, para obtener la tasa de interés utilizamos la función TASA cuando operamos con flujos uniformes y la función TIR cuando operamos con flujos variables.
Cuando estamos frente a un perfil de flujos iguales para cada período, es posible hacer una formulación que nos de el Valor Actual de los flujos de una sola vez obviando el cálculo del descuento flujo por flujo. De esta forma de cálculo son las Anualidades. Ejemplo:
Si usamos el método de descuento flujo por flujo y lo descontamos al 15% por período tendríamos los valores indicados en el cuadro y después lo comparamos con el método abreviado a través de la fórmula y la función VA:
Aplicando la fórmula [18] o la función VA:
Como podemos observar, con los tres métodos obtenemos resultados iguales.

martes, 24 de junio de 2014

Las anualidades

Una anualidad es un flujo de caja en el que los flujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos de dinero son iguales) y los movimientos de dinero ocurren a un intervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad son los pagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de anualidad es utilizado como una generalización sobre el tema, no siempre son períodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son:
1. Pagos mensuales por renta
2. Cobro quincenal o semanal por sueldo
3. Abonos quincenales o mensuales por pago de un préstamo.
4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc.

Flujo de una anualidad
No es una Anualidad El flujo no es una anualidad porque al 4to año se interrumpen para reiniciarse al 5to.
Cuando el flujo de caja es de una anualidad, el proceso de cálculo del valor actual y del valor futuro de un flujo de dinero se simplifica enormemente. Las anualidades son: Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en las cuales los pagos son hechos a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago. Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables se efectúan al principio de cada periodo. Las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período el VA o VF las pospagables multiplicándolas por (1 + i). Es decir, utilizamos las mismas fórmulas del VA o VF de las anualidades pospagables, multiplicando el resultado por (1 + i).

lunes, 23 de junio de 2014

EJERCICIO 16 (Calculando el VA de un flujo variable de caja)

Calcule el valor actual del siguiente flujo de caja considerando una tasa de descuento de 15%:
Solución: (Aplicamos sucesivamente la fórmula (12) ó (17):
Aplicando la función VNA tenemos:
Respuesta: El valor actual del flujo de caja es UM 1,938.92

domingo, 22 de junio de 2014

Flujos variables

1.1.   Valor actual de un flujo variable
El valor actual de un flujo variable es igual a la suma de los valores actuales de cada uno de estos flujos. Para comprender esto, suponga una inversión en que las promesas de pago de UM 100 dentro de un año y UM 200 dentro de dos años es hoy; si un inversionista tiene que decidir entre estas dos opciones, al inversionista le resultaría indiferente, elegir entre las dos opciones, asumiendo que las inversiones son de igual riesgo, es decir, la tasa de descuento es la misma. Esto es porque los flujos futuros que el inversionista recibiría hoy carecen de riesgo y tienen el mismo valor bajo cualquier alternativa. Sin embargo, sí la inversión tuviera una tasa de descuento de 12%, el valor actual de la inversión puede encontrarse como sigue:

Valor actual de la inversión
VA = 89.29 + 79.72 = UM 169.01 La siguiente ecuación puede emplearse para calcular el valor actual de un flujo futuro de caja
Dónde: VA = Valor actual del flujo de caja FCt = Flujo de caja (ingresos menos egresos) de t = 0 a n i = Tasa de descuento, t = El período que va de cero a n n = El último período del flujo de caja

sábado, 21 de junio de 2014

EJERCICIO 15 (Calculando el VA)

Determinar el valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de 3 años a partir de hoy si la tasa de interés es 9%.
Solución:
VF = 100; n = 3; i = 0.09; VA =?

Aplicando al flujo la fórmula 12 o la función financiera VA, tenemos:
Respuesta: El VA al final de los 3 años es UM 77.22

viernes, 20 de junio de 2014

Valor actual de un flujo único

El valor actual, es el valor de las unidades monetarias de hoy. El proceso de calcular los valores actuales a una tasa específica de Interés es conocido como descuento.
La tasa de interés con el que determinamos los valores actuales es la tasa de descuento, cuando el dinero proviene de fuentes externas y costo de oportunidad cuando la inversión proviene de recursos propios.
Por ejemplo:
El valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de un año es UM 91.74, si la tasa de descuento es 9% compuesto anualmente tenemos:
La ecuación de valor futuro la utilizamos para describir la relación entre el valor actual y el valor futuro. Así, el valor actual de UM 100 a ser recibido dentro de dos años es UM 84.17 a la tasa de descuento de 9%. Dos años 84.17 (1 + 0.09)2 = UM 100 ó 84.17 = 100/(1 + 0.09)2 Como vemos el modelo matemático derivado de la fórmula del interés compuesto utilizada es el del valor actual. Ecuación que nos permite calcular el valor actual de un flujo de caja futuro dado la tasa de descuento en un período determinado de tiempo.
Cálculos a valor futuro:
Un año 91.74 (1 + 0.09) = 100 ó

jueves, 19 de junio de 2014

EJERCICIO 14 (Calculando el tiempo o plazo n)

Calcular el tiempo que ha estado invertido un capital de UM 35,000, si el monto producido fue UM 56,455 con un interés de 9 %.
Solución
VA = 35,000; VF = 56,455; i = 0.09; n =?

Aplicando la fórmula [14] o la función NPER, tenemos:
Respuesta: El tiempo en que ha estado invertido el capital fue de 5 años, 6 meses y 17 días

miércoles, 18 de junio de 2014

EJERCICIO 13 (Calculando el tipo de interés i)

Determinar la tasa de interés aplicada a un capital de UM 25,000 que ha generado en tres años intereses totales por UM 6,500.
Solución:
(VF = 25,000 + 6,500)
i = ?; VA = 25,000; n = 3; I = 6,500; VF = 31,500

Aplicando la fórmula [13] o la función TASA, tenemos:

martes, 17 de junio de 2014

EJERCICIO 12 (Calculando el VA a partir del VF)

Inversamente, alguien nos ofrece UM 5,000 dentro de 3 años, siempre y cuando le entreguemos el día de hoy una cantidad al 10% anual. ¿Cuánto es el monto a entregar hoy?
Solución:
VF = 5,000; n = 3; i = 0.10; VA =?

Aplicamos la fórmula y/o la función financiera VA:
Respuesta: El monto a entregar el día de hoy es UM 3,757.57

lunes, 16 de junio de 2014

EJERCICIO 11 (Calculando el VF a partir del VA)

Yo tengo un excedente de utilidades de UM 1,000 y los guardo en un banco a plazo fijo, que anualmente me paga 8%; ¿cuánto tendré dentro de 3 años?
Solución:
VA = 1,000; n = 3; i = 0.08; VF =?
Indistintamente aplicamos la fórmula y la función financiera VF

Respuesta:
El monto al final de los 3 años es UM 1,259.71

domingo, 15 de junio de 2014

EJERCICIO 10 (Calculando el VF)

Calcular el VF al final de 5 años de una inversión de UM 20,000 con un costo de oportunidad del capital de 20% anual.
Solución:

VA = 20,000; n = 5; i = 0.20; VF =?
Respuesta:
 El VF al final de los 5 años es UM 49,766.40

sábado, 14 de junio de 2014

El Interés compuesto

El interés compuesto es una fórmula exponencial y en todas las fórmulas derivadas de ella debemos operar únicamente con la tasa efectiva. La tasa periódica tiene la característica de ser a la vez efectiva y nominal, ésta tasa es la que debemos utilizar en las fórmulas del interés compuesto.
Con el interés compuesto, pagamos o ganamos no solo sobre el capital inicial sino también sobre el interés acumulado, en contraste con el interés simple que sólo paga o gana intereses sobre el capital inicial

Una operación financiera es a interés compuesto cuando el plazo completo de la operación (por ejemplo un año) está dividido en períodos regulares (por ejemplo un mes) y el interés devengado al final de cada uno de ellos es agregado al capital existente al inicio. Así, el interés ganado en cada período percibirá intereses en los periodos sucesivos hasta el final del plazo completo. Su aplicación produce intereses sobre intereses, conocido como: la capitalización del valor del dinero en el tiempo.
La tasa de interés en el ejemplo anterior es 9% compuesto anualmente. Esto significa que el interés paga anualmente. Así tenemos que en nuestra libreta de ahorros al final del primer año tendremos UM 109 (el principal más los intereses), en el segundo año este saldo aumenta en 9%. Arrojando al final del segundo año un saldo de UM 118.81 que puede computarse como sigue:
Como vemos, un modelo matemático va manifestándose con mucha nitidez. El Valor Futuro de una inversión inicial a una tasa de interés dada compuesta anualmente en un período futuro es calculado mediante la siguiente expresión:
Que no es otra cosa, que la fórmula general del interés compuesto para el período n de composición. En las matemáticas financieras es fundamental el empleo de la fórmula general del interés compuesto para la evaluación y análisis de los flujos de dinero. Las ecuaciones derivadas de la fórmula [11] (para inversión y recuperación en un sólo pago) son: 
 El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Al utilizar una tasa de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses

viernes, 13 de junio de 2014

Valor futuro de un flujo único

El valor futuro de un flujo único representa la cantidad futura, de una inversión efectuada hoy y que crecerá si invertimos a una tasa de interés específica. Por ejemplo, si el día de hoy depositamos UM 100 en una libreta de ahorros que paga una tasa de interés de 9% compuesto anualmente, esta inversión crecerá a UM 109 en un año. Esto puede mostrarse como sigue:
Año 1: UM 100(1 + 0.09) = UM 109

Al final de dos años, la inversión inicial habrá crecido a UM 118.81. Como vemos la inversión ganó UM 9.81 de interés durante el segundo año y sólo ganó UM 9 de interés durante el primer año. Así, en el segundo año, ganó no sólo interés la inversión inicial de UM 100 sino también los UM 9 al final del primer año. Esto sucede porque es una tasa de interés compuesta

jueves, 12 de junio de 2014

Valor del dinero en el tiempo

El tiempo (plazo) es fundamental a la hora de establecer el valor de un capital.
Una unidad monetaria hoy vale más que una unidad monetaria a ser recibida en el futuro. Una UM disponible hoy puede invertirse ganando una tasa de interés con un rendimiento mayor a una UM en el futuro. Las matemáticas del valor del dinero en el tiempo cuantifican el valor de una UM a través del tiempo. Esto, depende de la tasa de rentabilidad o tasa de interés que pueda lograrse en la inversión.
El valor del dinero en el tiempo tiene aplicaciones en muchas áreas de las finanzas el presupuesto, la valoración de bonos y la valoración accionaria. Por ejemplo, un bono paga intereses periódicamente hasta que el valor nominal del mismo es reembolsado.

Los conceptos de valor del dinero en el tiempo están agrupados en dos áreas: el valor futuro y valor actual. El valor futuro (VF - Capitalización) describe el proceso de crecimiento de una inversión a futuro a una tasa de interés y en un período dado. El valor actual (VA - Actualización) describe el proceso de un flujo de dinero futuro que a una tasa de descuento y en un período representa UM de hoy. 

miércoles, 11 de junio de 2014

EJERCICIO 9 (Descuento de letra)

Una empresa descuenta una letra por la cual recibe UM 2,520. Si la tasa de descuento es de 66% y el valor nominal de UM 2,950. ¿Cuánto tiempo faltaba para el vencimiento de la obligación?.
Solución:
VN = 2,950; VA = 2,520; d = (0.66/12) = 0.055; D =?

[9] D = 2,950 - 2,520 = UM 430.00
Despejando n de la fórmula (6) D = VN *n*i obtenemos 
Respuesta: Faltaba para el vencimiento 2 meses y 20 días

martes, 10 de junio de 2014

EJERCICIO 8 (Descuento de pagaré)

Una empresa descuenta un pagaré y recibe UM 20,000. Si la tasa de descuento es del 66% anual y el vencimiento es en tres meses después del descuento. ¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha de vencimiento?.
Solución:

VA = 20,000; d = (0.66/12) = 0.055; n = 3; VF =?
 [7] VF = 20,000 + 3,300 = UM 23,300
Respuesta:
El valor nominal (VF) del documento en la fecha de vencimiento es UM 23,300

lunes, 9 de junio de 2014

EJERCICIO 7 (Pagaré)

Tenemos un pagaré por UM 185,000, girado el 15/09/03 y con vencimiento al 15/11/03, con una tasa de descuento de 50% anual. Determinar el descuento y el valor actual del documento.
Solución:

VN = 185,000; n = 2 meses; d = (0.50/12) = 0.0417; D =?; VA = ? 
Respuesta:
El descuento es de UM 15,416.64 y el valor actual del documento es de UM 169,583.33

sábado, 7 de junio de 2014

Descuentos

Es una operación de crédito llevada a cabo principalmente en instituciones bancarias y consiste en que estas adquieren letras de cambio, pagarés, facturas, etc. de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha recibida y la fecha de vencimiento. Anticipan el valor actual del documento. La formula para el cálculo del descuento es:
Donde:
D = descuento
VF o VN = valor del pagaré o documento (monto), valor nominal
d = tasa de descuento
n = número de períodos hasta el vencimiento del pagaré
Otras fórmulas del descuento:
Despejando de la fórmula [6] tenemos:
[7] VN = VA + D
[8] VA = VN - D
[9] D = VN - VA
Sustituimos el valor de VF en la formula [6]:
D = [VA + D]n*d 
D =VA*b*d + D*n*d y pasando el segundo termino tenemos D – D*n*d = VA*n*d

viernes, 6 de junio de 2014

EJERCICIO 6 (Interés Simple Exacto)

Un pequeño empresario, con utilidades por UM 5,000 los deposita en una libreta de ahorros en un banco al 9.7% anual. Calcular cuanto tendrá al final de 8 meses.
1º Expresamos el plazo en años: (8 meses por 30 días = 240 días)
240/365 = 0.6575 años
Solución:
VA = 5,000; i = 0.097; n = 0.6575; VF =?
2º Aplicamos la fórmula (2) y Excel:
[2] VF = 5,000 *[1 + (0.097*0.6575)] = UM 5,318.89
Respuesta:
El pequeño empresario tendrá al final de los 8 meses UM 5,318.89

jueves, 5 de junio de 2014

EJERCICIO 5 (Interés Simple Comercial)

Jorge deposita UM 2,300, en una libreta de ahorros al 9% anual, ¿cuánto tendrá después de 9 meses?.
1º Expresamos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075, mensual:
Solución:
VA = 2,300; i = 0.0075; n = 9; VF = ?
2º Aplicamos la fórmula [2] y Excel:
[2] VF = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = UM 2,455.25

Respuesta:
El valor futuro es UM 2,455.25

miércoles, 4 de junio de 2014

Tipos de plazos de los intereses

Generalmente conocemos dos tipos de plazos:
a)     Interés Comercial o Bancario. Presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días.
b)    Interés Exacto. Tiene su base en el calendario natural: un año 365 o 366 días, y el mes entre 28, 29, 30 o 31 días.
El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el acreedor, es de uso normal por las entidades financieras.

La mayoría de ejercicios en la presente obra consideran el año comercial; cuando utilicemos el calendario natural indicaremos operar con el interés exacto.

martes, 3 de junio de 2014

Monto

El monto es la suma obtenida añadiendo el interés al capital, esto es:
MONTO = CAPITAL + INTERES

Reemplazando en [1] por sus respectivos símbolos, obtenemos la fórmula general para el monto:
Fórmula para el monto (VF) a interés simple de un capital VA, que devenga interés a la tasa i durante n años.
 De donde:

lunes, 2 de junio de 2014

EJERCICIO 4 (Calculando la tasa i de interés)

Si una empresa hipotecaria tiene invertido UM 320,000 durante 3½ años a interés simple y obtiene en total UM 146,250 de ingresos, ¿cuál es la tasa de interés?.
Solución
I = 146,250; VA = 320,000; n = 3.5; i =?
Despejamos i de la fórmula [1] I = VA*n*i:
Respuesta:
La empresa hipotecaria obtuvo el 13% sobre su inversión.

domingo, 1 de junio de 2014

EJERCICIO 3 (Calculando el plazo de una inversión)

Una entidad financiera invirtió UM 250,000 al 17.6% en hipotecas locales y ganó UM 22,000. Determinar el tiempo que estuvo invertido el dinero.
Solución
VA = 250,000; I = 22,000; i = 0.176; n =?
Despejamos n de la fórmula [1] I = VA*n*i